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研究方向

应用泛函分析研究方向

来源: 日期:2012-09-08 作者: 浏览次数:

(一)应用泛函分析方向介绍

应用泛函分析研究方向主要致力于算子代数、算子理论以及应用研究、无限维系统、非交换概率、Fock空间理论及应用研究。80年代以来已先后承担过10项国家级项目,1项国际合作项目和23项省部级项目,在《J. Functional Anal.》、《 Integer.Equa.Oper. Theo》、《 J. Oper. Theo. J.Math. Anal. Appl.》、《Integer. Equa. Oper. Theo.》、《 Proc. AMS, Lin. Alg》、《 Appl.,Bull.London Math Soc.》、《 Sysrems and Control Letters》、《IMA J. Math. Control & Information》等国内外重要学术刊物发表论文160余篇,其中被SCI收录60篇,出版专著1部(获数学天元基金和中科院科学出版基金资助),译著2部;曾获中国青年科技奖1项,山西省科技进步一等奖2项,其它省部级科技奖3项。2001年举办了"算子代数与算子理论国际学术会议"并在《Acta Mathematica Sinica (English Series)》出了论文专集。

(二)近年来的主要研究课题及成果

1、算子代数和算子空间上映射的刻画和分类研究:这是近年来兴起的算子代数、算子理论、射影几何等交叉研究课题,并有着深刻的量子力学和计算数学方面的背景和重要应用,其基本问题是用尽可能少的代数或几何性质对算子代数或算子空间之间的映射进行刻画和分类。该研究方向也可看作著名数学家华罗庚创建的矩阵几何学的无限维形式的发展。当假设所涉映射为线性时,该问题就是所谓线性保持问题,其研究的目的是利用线性手段探讨和解决拓扑代数的问题,即通过刻画保持代数元某种特征不变的线性映射、初等线性映射等,反馈算子代数的整体结构性质,其成果往往从新的角度,揭示了算子代数的固有性质以及与其上线性映射的联系,丰富了算子代数和算子理论。在本课题研究方面,取得系统深入的系列成果。如,解决了以谱函数、数值半径、相似性、秩等为不变量的各种算子代数上的线性或非线性映射的刻画,解决了von Neumann代数上的Kaplansky问题,有限维C*代数上正线性映射以及初等算子的抽象刻画等长期未解决的疑难问题,率先在重要的非自伴非半单算子代数-套代数上开展保持问题的研究并成功地取得一系列深刻成果。在该领域的工作,受到国内外同行的极大关注,有些论文在J.Functional Analysis等国际顶层学术刊物上发表,以侯晋川教授为领头人的课题组被国外同行专家称为"Hou Group"。

2、非交换几何,Roe代数及其应用研究:一致Roe代数和粗Roe代数起源于非紧流形上的指标理论,反映度量空间的粗结构。这些代数对用C*-代数的方法处理一些几何、拓扑问题(如微分拓扑中的Novikov猜测)起重要作用。我们的研究已经获得高水平成果,如给出了速降度量空间的完全刻画,得到了Schwartz型空间是一致Roe代数谱不变子代数的充要条件;建立了缓增上同调理论,给出了循环上链可延拓的增长性条件;得到了Roe代数是拟对角的一些充要条件,并给出了它在粗 Baum-Connes猜测中的一个应用。上述工作得到著名同行专家好评,有些成果已在J. Functional Analysis等重要刊物发表。

3、算子谱理论及缺项算子矩阵补:weyl谱在算子扰动理论中扮演重要角色而应用广泛的算子扩张和膨胀理论则是矩阵补问题的特例。近年来,由于来自换位提升理论、插值理论及系统控制理论中某些问题的刺激,缺项算子矩阵补的一般性研究引起人们广泛兴趣。本方向这方面成果主要是关于正算子矩阵、正补及谱补、投影补和幂等补等方面的,有些成果已应用于系统稳定性和算子代数上线性映射的研究。在有关weyl谱映射定理以及weyl谱定理的研究方面则解决了过去国外学者提出的一些公开问题。

4、算子理论在无限维系统及riccati方程中的应用研究:自六十年代起,线性二次最优控制问题在无限维线性系统研究中占有主导的地位,而该问题的解决最终都化为riccatt方程的研究,比如,一个无穷时间区间上的线性二次最优控制问题的求解实际上就是一个代数riccatt算子方程的求解。然而对于无限维代数riccatt方程的研究,则文献较少,而且迄今所获成果均假定输入、输出空间是有限维的,对无限维情形则没有深入。本方向利用局部C-半群理论的研究成果,对输入、输出空间都是无限维且输入输出控制算子都是无界算子的情形对上述问题进行探讨并已获得一系列成果,得到系统控制论同行好评。

5、Fock空间理论及应用研究:Fock空间是非常重要的一类解析Hilbert空间,与量子力学、调和分析、微分方程等学科密切相关。本课题在拟不变子空间是否具有Beurling型定理,具有任意指标拟不变子空间的存在性和构造、余维数公式及相应的特征空间理论的建立等问题获得突破性进展。

6、算子空间框架下的自由概率论研究:近年来Voiculescu在算子代数基础上建立了一种非交换概率论,即自由概率论。利用其中的自由熵以及几何估计方法,Ge Li-Ming等著名学者一举解决了几个算子代数中的历史难题,显示出该理论的威力。目前本方向成员正与Ge Li-Ming、Ruan Zhong-Ji等著名学者合作,进一步建立算子空间基础上的自由概率论,并已取得可喜进展。非交换概率与非交换Banach空间的联系是人们关心的重要问题之一,其中最重要的概念之一是自由积。我们找到算子空间自由积的合理定义并肯定回答了Effros的一个问题。自由概率论中的Brown运动,Levy过程是近几年自由随机过程理论的中心课题之一,更一般的问题是如何在自由概率论中定义Markov过程。我们定义自由Markov过程为满足一定条件自由独立性的vN 代数中的自伴元族,并进一步证明,按我们的定义,自由Brown运动、自由Levy过程都是自由Markov过程,还证明了一类由自由Levy过程导出(drive)的自由随机微分方程的解的存在与唯一性,并证明了此解还是一个自由Markov过程。对于一类特殊的自由随机微分方程,证明了其解为自由Ornstein-Uhrenbeck过程,并且研究了此过程的极限分布的特征。该方向学术梯队合理,研究队伍年轻,其成员大多具有博士学位,具备培养博士生的实力和条件。